Novelista, poeta, dramaturgo, cuentista, periodista y traductor. Estudió los primeros años de literatura inglesa en la Universidad de Ottawa, Canadá y filosofía en la Facultad de Filosofía y Letras de la UNAM. Cursó la carrera de Letras Inglesas en la Facultad de Filosofía y Letras. Estudió pintura en la Escuela Nacional de Artes Plásticas y en La Esmeralda, y cine en el Institut des Hautes Etudes Cinématographiques de París. Manejó varias productoras, como CLASA-Films Mundiales. Elizondo formó parte del grupo Nuevo Cine, al lado de Alberto Isaac, Jomi Garcia Ascot, Emilio Garcia Riera, José de la Colina y Carlos Monsiváis. Cultivó la crítica cinematográfica. Impartió clases a las primeras generaciones del Centro Universitario de Estudios Cinematográficos. Su participación como director es breve sólo una película, Apocalipsis 1900 (1965).